FUNCIONES.

 

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. 

Otra definicion puede se que a una magnitud o cantidad se le conoce como función de otra,si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

Asi como:

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

 

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde.

Ejemplos:

• Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
• Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.
• En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

  OPERACIONES CON FUNCIONES

 

Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por:

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por:

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Función Cociente

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por:

f/g (x) =  f(x)/g(x) 

 Funcion Inyectiva (uno a uno)

Definicion. Una funcion : f: Df - Cf es inyectiva o uno a uno y se denota como 1-1, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio. En esta funcion, para dos valores cualesquiera  x1 y x2 de su dominio se cumple que:
 x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)

Ejemplo. 

• Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el conjunto de los hijos y f la función que asocia a cada mujer con su hijo primogénito. Es una función 1−1 o inyectiva.

• Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
  
• La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
  
• La función g : R → R definida por g(x) = x² no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
  
• La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = e^x es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
  
• El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
  
• La función g : R → R definida por g(x) = xⁿ − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

Funcion bIyectiva

Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

 

Funcion sobreyectiva.

 Una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,