FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

FUNCION INVERSA

La inversa de una funcion se obtiene cambiando el orden de X por Y en las parejas y viceversa, es decir, [x,y] por [y,x].

• Para definir la inversa de una funcion, ésta debe ser inyectiva.

Si f es una funcion inyectiva considerada como el conjunto (x,y), esta funcion tiene una funcin inversa denotada como  f ^-1 siendo el conjunto (y,x) el que lo conforma. Se cumple que el dominio de  f ^-1 es el contradominio de f y que el contradominio de es el domnio de f.

FUNCIÓN ESCALONADA

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

CARACTERÍSTICAS

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo 

.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

 

 

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

 

 

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

	No negatividad
	Definición positiva
	Propiedad multiplicativa
	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

	Simetría
	Identidad de indiscernibles
	Desigualdad triangular
	(equivalente a la propiedad aditiva)
	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

FUNCIÓN CONSTANTE

En matemáticas se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

donde c es la constante.