FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO.

La determinación de las raíces de un polinomio es una práctica antigua y la notación utilizada actualmente se desarrolló en el siglo XV.

    En la actualidad, debido a su estructura, los polinomios son muy sencillos de evaluar y se usan ampliamente como herramienta poderosa en otras ramas de las matemáticas. Por lo general se usan para relacionar volumen en el espacio o en el tiempo.

    Las funciones polinomiales de grado tres tienen la forma

f(x) = ax³ + bx² + cx + d, donde a no es cero.

 

Esta función corresponde a la función clásica y = x³ con su grafica de una “S” alargada.

Sin embargo al presentar una función cúbica con todos sus términos, esta se presenta de forma muy especial. Veamos la grafica de la función

f(x) = x³ + 8x² + 10x +1

FUNCION CUADRATICA

 

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola que tiene infinidad de aplicaciones.

Para solucionar estas funciones, encontrar los valores de equis donde la función nos dará a cero, existen otros métodos. Pero, ¿cuál es el método general para resolver una función cuadrática?

El método que se ha manejado es la conocida fórmula general.

Misma que ya conocemos, pero hay otros métodos con procedimientos algebraicos que presentamos a continuación.

METODO DE COMPLETAR EL TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO

    Este método se aplica a funciones de la forma f(x) = ax² + bx + c o

f(x) = ax² + bx, realizando los siguientes pasos.

1. Hacer f(x) = 0
   
2. Despejar el término independiente.
   
3. Dividir cada termino de la ecuación entre el coeficiente numérico de x².
   
4. Sumar en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente numérico de x.
   
5. Factorizar el primer miembro y simplificar el segundo miembro.
   
6. Despejar la variable en cuestión y se toman dos raíces: una con el valor positivo del radical del segundo miembro y otra con el valor negativo.
   

Ejemplo: encontrar los ceros de f(x) = 3x² – 6x – 24

1. Igualar a cero 3x² – 6x – 24 = 0
   
2. Despejar 3x² – 6x = 24
   
3. Dividir         (3x² – 6x = 24) 3
   
   X² – (2)x = 8
   
4. Sumar x² – 2x + (1)² = 8 + (1)²
   Sumar en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente numérico de x.
   
5. Factorizar     x² – 2x + 1 = 8 + 1 Extrayendo raíz cuadrada x² y a 1
   
   (x-1)² = 9
   
6. Extraer raíz =
   
7. Despejar x-1 = 3
   
   X = ± 3 + 1
   
   X₁ = +3 + 1 X_{2 =} -3 + 1
   
   X₁ = 4         X_{2 =} - 2
   

Este método parece algo extenso, pero en la práctica es muy eficaz. Habría que comparar si el resultado es igual o no con la formula general.

EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS

¿Qué es una función polinomial?


Esto depende de los grados de la función.  La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma:

P(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…. + a₀x⁰

Con la nota específica de que N es un nuero real y el coeficiente A no debe ser cero.
La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable x el exponente uno.
La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.
y = m x + b

La función cuadrática:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:
Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.
Su gráfica es una parábola.
 

 

FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

FUNCION INVERSA

La inversa de una funcion se obtiene cambiando el orden de X por Y en las parejas y viceversa, es decir, [x,y] por [y,x].

• Para definir la inversa de una funcion, ésta debe ser inyectiva.

Si f es una funcion inyectiva considerada como el conjunto (x,y), esta funcion tiene una funcin inversa denotada como  f ^-1 siendo el conjunto (y,x) el que lo conforma. Se cumple que el dominio de  f ^-1 es el contradominio de f y que el contradominio de es el domnio de f.

FUNCIÓN ESCALONADA

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

CARACTERÍSTICAS

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo 

.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

 

 

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

 

 

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

	No negatividad
	Definición positiva
	Propiedad multiplicativa
	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

	Simetría
	Identidad de indiscernibles
	Desigualdad triangular
	(equivalente a la propiedad aditiva)
	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

FUNCIÓN CONSTANTE

En matemáticas se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

donde c es la constante.